\( {}^y x \) \( \mathbb{N} \)uevas Matemáticas \( \sum \)

Motivo

Todo empezo por 2023, cuando tenia 13 años, en ese momento me encontre unos videos hablando de una cuarta operación la "tetración", aqui una explicación:

\( {}^y x := x^{x^{x^{...y\,veces...^{x}}}} \)

Basicamente es una elevación repetida, al igual que la elevación es una multiplicación repetida y que el producto es una suma repetida:

\( x^{y} := x \cdot x \cdot x...y \, veces...x \cdot x \cdot x \)

\( x \cdot y := x + x + x...y \, veces...x + x + x \)

De hecho si vamos mas alla, la suma también es una operación repetida, la de agregar una unidad:

\( x + y := x + 1 + 1 + 1...y \, veces...1 + 1 + 1 \)

Volviendo al tema, yo me pregunte si se podia tetrar a un un medio o cualquier valor real, y no era el unico que se lo preguntaba, pero lo interesante es que no fuera tan popular como para ser un problema del milenio, pero era lo suficiente para aquella gente que se preguntaba, ¿Que hay mas alla de las operaciones tipicas?

Desarrollo

De lo primero que hice fue intentar definir la tetración para \(0\) y \(-1\); Esto no fue tan dificil ya que detecte un patron simple:

\( {}^y x = x^{x^{x^{...y\,veces...^{x}}}}=x^{{}^{y-1} x} \)

Esto pasa debido a que arriba de la primera \(x\), quedan todavia \(y-1\), las mismas que forman una tetración. A esto se le llama recursividad y permite definir una operaciòn a partir de si misma; De hecho, la suma, el producto y la elevación también tienen sus propias versiones de esto:

\( x^{y+1}= x^{y} \cdot x\)

\( x \cdot (y+1)= x \cdot y + x\)

\( x+(y+1)= (x+y)+1\)

Si te preguntas de que nos puede servir esto, es por lo siguiente, apliquemos logaritmos base \(x\) en ambos lados.

\( log_x( {}^y x) = log_x( x^{{}^{y-1} x} ) \), luego

\( log_x( {}^y x) = {}^{y-1} x \) y, dando vuelta

\( {}^{y-1} x = log_x( {}^y x) \)

Esta formula nos sirve por ejemplo, cuando \(y=1\)

\( {}^{1-1} x = log_x( {}^1 x) = log_x( x ) = 1 \)

\( {}^{0} x = 1 \)

Y también cuando \(y=0\)

\( {}^{0-1} x = log_x( {}^0 x) = log_x( 1 ) = 0 \)

\( {}^{-1} x = 0 \)

El problema es cuando \(y \lt 1\)

\( {}^{-1-1} x = log_x( {}^{-1} x ) = log_x( 0 ) = -\infty \)

\( {}^{-2} x = -\infty \)

Y, como ya se imaginaran, este problema sigue para toda potencia negativa menor o igual a \(-2\), por cierto, yo prefiero llamarle accelo a lo que esta arriba en la tetración en vez de exponente, debido a que esto va mas alla de eso.

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